Дата публикации: 04.06.2025

Взаимное расположение кривой второго порядка и прямой

Содержимое статьи:

Постановка задачи Определить взаимное расположение кривой второго порядка f(x,y)=0 и прямой Ax+By+C=0, а также построить их на плоскости.
Дано:

• Кривая второго порядка: f(x,y)=4x^2-16x-y^2-4y+8=0
• Прямая: Ax+By+C=2x+y-4=0 Решение 1. Определение типа кривой второго порядка Уравнение кривой второго порядка можно привести к каноническому виду:
  

  f(x,y) = 4(x-2)^2 - (y+2)^2 = 0

  Это уравнение гиперболы с центром в точке (2, -2).
  2. Нахождение точек пересечения кривой и прямой Подставляем уравнение прямой в уравнение гиперболы:

  4(x-2)^2 - (2x+y-4+2)^2 = 0

  4(x-2)^2 - (2x+y-2)^2 = 0

  Раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю:

  4x^2 - 16x + 16 - (4x^2 + 4xy - 8x + y^2 - 4y + 4) = 0

  4x^2 - 16x + 16 - 4x^2 - 4xy + 8x - y^2 + 4y - 4 = 0

  -4xy - y^2 + 4y + 12 = 0

  Находим корни уравнения:

  y = -2 ± 2sqrt(4x^2 + 12x + 9)

  y = -2 ± 2sqrt((2x+3)^2)

  y = -2 ± 2(2x+3)

  y_1 = 4x + 4

  y_2 = -4x - 8

  Итак, кривая и прямая пересекаются в двух точках:

  (0, 4)
  
  (-2, -8)

  3. Построение на плоскости

• Строим гиперболу по уравнению f(x,y) = 4(x-2)^2 - (y+2)^2 = 0.
• Строим прямую по уравнению 2x+y-4=0.
• Отмечаем точки пересечения (0, 4) и (-2, -8).
  В результате получаем график, на котором видно, что кривая и прямая пересекаются в двух точках.