Дата публикации: 31.05.2025

Векторы и координаты в пространстве R3

Содержимое статьи:

• Определение базиса
• Проверка на линейную независимость
• Проверка на порождающую систему
• Координаты вектора в базисе

Определение базиса

Векторы l1, l2, l3 образуют базис в пространстве R3, если они:

• линейно независимы (ни один из векторов не является линейной комбинацией других);
• образуют порождающую систему (любой вектор в R3 можно представить как линейную комбинацию l1, l2, l3).
  

  Проверка на линейную независимость

  Матрица, составленная из векторов l1, l2, l3, имеет вид:

  A = | 1 -4  3 |
  
  | 6  3  5 |
  
  | 3  1  4 |

  Определитель матрицы A равен:

  det(A) = -29 ≠ 0

  Следовательно, векторы l1, l2, l3 линейно независимы.

  Проверка на порождающую систему

  Линейная комбинация векторов l1, l2, l3:

  x = c1 * l1 + c2 * l2 + c3 * l3

  Для вектора x = (21, 18, 19) решим систему линейных уравнений:

  c1 + 6c2 + 3c3 = 21
  
  -4c1 + 3c2 + c3 = 18
  
  3c1 + 5c2 + 4c3 = 19

  Решением системы является:

  c1 = 3
  
  c2 = 2
  
  c3 = 4

  Следовательно, любой вектор в R3 можно представить как линейную комбинацию l1, l2, l3, и они образуют порождающую систему.

  Координаты вектора в базисе

  Координаты вектора x = (21, 18, 19) в базисе l1, l2, l3 равны:

  [x]_B = (3, 2, 4)

  где:

• [x]_B - координаты вектора x в базисе B;
• B - базис, состоящий из векторов l1, l2, l3.