Дата публикации: 31.05.2025

Векторы и действия над ними

Содержимое статьи:

Векторы

• Геометрический вектор представляет собой направленный отрезок, характеризующийся своей величиной (длиной) и направлением.
• Векторы обычно обозначаются стрелками над буквами, например, a⃗ или b⃗.
  Действия над векторами Сложение векторов:
• Векторы складываются по правилу параллелограмма.
• Диагональ параллелограмма, построенного на векторах a⃗ и b⃗, представляет собой их сумму: c⃗ = a⃗ + b⃗.
  Вычитание векторов:
• Вычитание вектора b⃗ из вектора a⃗ эквивалентно сложению вектора a⃗ с вектором -b⃗: a⃗ - b⃗ = a⃗ + (-b⃗).
  Скалярное умножение:
• Скалярное умножение вектора a⃗ на число k дает новый вектор: k * a⃗.
• Величина результата равна k * |a⃗|, а направление совпадает с направлением a⃗, если k положительно, и противоположно направлению a⃗, если k отрицательно.
  Угол между геометрическими векторами Угол θ между векторами a⃗ и b⃗ определяется как:
  

  cos(θ) = (a⃗ ⋅ b⃗) / (|a⃗| * |b⃗|)

  Вычисление диагоналей параллелограмма Дано:

• Угол между a⃗ и b⃗ равен π/4.
• |a⃗|=4
• |b⃗|=3
  Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенных на векторах a⃗ и b⃗.
  Решение:
  1. Найти скалярное произведение:

     a⃗ ⋅ b⃗ = |a⃗| * |b⃗| * cos(θ) = 4 * 3 * cos(π/4) = 6

  2. Найти длину первой диагонали:

     |c⃗| = |a⃗ + b⃗| = √(a⃗ ⋅ a⃗ + 2*a⃗ ⋅ b⃗ + b⃗ ⋅ b⃗) = √(16 + 2*6 + 9) = √31

  3. Найти длину второй диагонали:

     |d⃗| = |a⃗ - b⃗| = √(a⃗ ⋅ a⃗ - 2*a⃗ ⋅ b⃗ + b⃗ ⋅ b⃗) = √(16 - 2*6 + 9) = √10